現実のページランク算出方法

ページランク＝理論上はウェブページが訪問される確率です（正確には、確率分布）

ページランクベクトルとその固有値との関係等理論上の問題について、知られたい方は、 「固有値について」をお読みください。 英米の学者によれば、ペロンフロベニウスの定理(注）から、 ページランクベクトルの単一性及び理論上の収束可能性（＝パワー法が有効）が導かれるのだとされています。

ページランクの特許公開文書 →

にて、
現実のページランク算出に用いられる行列の定義式が、下記のとおり、明記されています。（一般にグーグル行列と呼ばれます。）なお、パラメーター　ｄ＝１－αの関係となります。

Ａ＝（α/N　×1）＋(1－α）Ｂ　

②Ｎは、計算対象のウェブページ数です。

③αは、通常0.15とする旨明記しています。なお、このウェブサイトの他ページで主にパラメーターｄを使用していますが、1－ｄ　＝α　です。

④Ｂは、リンク関係がある場合には、1/nì （発リンク数で割った数値です。）リンクなしの場合0をいれた次のようなＮ×Ｎの行列です。（下例では、Ｎ＝3です。）

（1）α＝0.85　の固定値とする場合。

①ページランクの特許公開文書等で、上記αの基準値は、0.85である旨繰り返し述べています。
②上記例のグーグル行列を行列形式で示せば、（Ｎ＝3）

実際の計算で使用されるグーグル行列は、上記のような行列の要素に 0 を全く含まない行列です。
このようなタイプの行列でなければ、ページランクベクトルが、一意的に定まらず、また、パワー法によって収束値を得ることができない旨既に証明されています。

（2）α　を可変値とする場合

①ページランクの特許公開文書及びGoole創設者の論文 （The Pagerank Citation Ranking:Bringing order to the web）では 、ページランクを人為的に引き上げようとする場合を考慮して、α　を可変値とするとしています。

以下に、ページランクの特許公開文書該当部分を引用しておきます。
As already mentioned above, rather than including the random linking probability α equally among all nodes, it can be divided in various ways among all the sites by changing the 1 matrix to another matrix. For example, it could be distributed so that a random jump takes the surfer to one of a few nodes that have a high importance, and will not take the surfer to any of the other nodes. This can be very effective in preventing deceptively tagged documents from receiving artificially inflated relevance. Alternatively, the random linking probability could be distributed so that random jumps do not happen from high importance nodes, and only happen from other nodes. This distribution would model a surfer who is more likely to make random jumps from unimportant sites and follow forward links from important sites.

上記から明らかなように、意図的にページランクを引き上げようとしているページであると判定された場合には、低いパラメーター　ｄ　の数値が適用されます。（0.85より小さいことです。）

なお、政府関係機関(アメリカであれば、.gov のドメイン)からの被リンクを有する場合には、逆に、高いパラメーター　ｄ　の数値が適用されると推定されます。同様に該当部分引用します
Additional modifications can further improve the performance of this method. Rank can be increased for documents whose backlinks are maintained by different institutions and authors in various geographic locations.

②α　を可変値とする場合、Ａ＝（α/N　×1）＋(1－α）Ｂ　中の1は、数字の1ではなく、下記のような要素が全て1であるＮ×Ｎの行列です。

（この行列をわざわざ使用する理由の推察）
例えば、あるウェブページのグループ（リンクファーム等）に対しα＝1と設定し、バックリンク評価値(1－α）Ｂをゼロとした場合、この行列を使用しなければ、逆に、 数値配分上のベース値（α/N　×1　)は、大きくなってしまいます。しかしこの行列の数値を変えれば、 数値配分上のベース値（α/N　×1　）を下げることができます。
なお、この場合、合計を1にしますので逆に他のウェブページのグループ（政府機関ウェブサイト等々）のベース値（α/N　× 1　)を大きくする必要が生じます。

上記例のα　を可変値とするグーグル行列を行列形式で示せば、

(例）あるウェブサイトのグループについてのみ、α＝0.6とする場合。

Ａ＝（α/N　×1）＋(1－α）Ｂ

①α/N　×1　は、N=3,　0.15/3で、

②(1－α）Ｂは、

①＋②は、

となり、およそ

となります。

上に引用したページランクの特許公開文書によれば、グーグルは、 意図的に被リンクを増加させていると判定した場合には、このようなにαを可変値とする手法で、ページランクを算出しています。繰り返しますが、その正確な手法（特に判定基準）は、不明であり、上記は、その1例にすぎません。

そうでなければ、数百～数千のウェブサイトから構成されるいわゆるリンクファーム・自動相互リンクプログラム・熱心な手動の相互リンク努力等々により、 ページランクによるウェブページ評価というgoogleの根幹をなす技術が、意味をなさなくなるからです。