ページランクの計算方法原理分かりやすい例です。
ウェブ世界が、次のようにたった3つのウェブページから構成されていると仮定します。
このリンク関係は、次のような簡単な数式で記述しえます。下記の式の左のＸ・Ｙ・Ｚのそれぞれのウェブページについて、右側の式で他のページとの関係を示すと考えてください。
①Ｘ＝Ｚ Ｘは、Ｚの発する唯一のリンクを受けています。
②Ｙ＝X/2 Yは、Ｘの発する2つのリンクのうち、ひとつを受けています。
③Ｚ＝X/2＋Ｙ Ｚは、Ｘの発する2つのリンクのうちひとつを受け、かつ、Ｙの発する唯一のリンクを受けています
行列では、次のようにします。
リンクがされている場合には、1を入れる.
| X | Y | Z | |
| X | 0 | 0 | 1 |
| Y | 1 | 0 | 0 |
| Z | 1 | 1 | 0 |
列の合計を1にする。
| X | Y | Z | |
| X | 0 | 0 | 1 |
| Y | 0.5 | 0 | 0 |
| Z | 0.5 | 1 | 0 |
この行列を適当な初期ベクトル（＝任意の数値の組み合わせのことです。この例では、1,0,0とします。）にかけて、反復計算して得られた数値
（設定した計算精度で同じ数値の繰り返しになるまで）が、パラメーター ｄ を考慮しない場合の（即ち1）ページランクの基礎数値です。
なお、正確に言えば、リンク関係をグラフとみなし、隣接行列（リンクがある場合には、上記のように列に1を入れるのではなく行に1を入れ、行の合計を1にすることを意味します。）と考えるのが、
根本発想ですが、このウェブサイトでは、上記形式で統一しています。
ページランクの算出が、上記のような手法で、算出されていることは、ページランクに関する特許に示されている、下記の式から明白です。 ｐ∞＝limAnｐ0 （ｎ→∞）
なお、例えば、ｐ2 ＝Aｐ1＝A2ｐ0である旨、特許文書に明記されています。
ｐ0が、初期ベクトル（この例では、1,0,0）。Aは、英語でグーグル行列と呼ばれる下記の行列です。
Ａ＝（α/N ×1 ）＋（1－α）Ｂ この行列の詳細は、現実のページランク算出方法を見てください。1
は、太字にしていますがベクトルではなく、行列です。
変数の数が、少なければ、計算式の入力にそれほど時間は、かかりませんので、エクセルで簡単に計算できます。べき乗法又はパワー法＝power methodと呼ばれる良く知られているごく簡単な計算方法です。
上の行列の例では、エクセルでは下記のように43回目の反復で、収束します。
（注）
エクセルの場合、計算は、10-16 程度で、打ち切りとなります。このため、計算精度は、10-16とお考え下さい
| 1回目 | 2回目 | 3回目 | 4回目 | 略 | 41回目 | 42回目 | 43回目 | |
| X | 1 | 0 | 0.5 | 0.5 | 0.400001 | 0.4 | 0.4 | |
| Y | 0 | 0.5 | 0 | 0.25 | 0.2 | 0.2 | 0.2 | |
| Z | 0 | 0.5 | 0.5 | 0.25 | 0.4 | 0.4 | 0.4 |
ウェブ上で、ページランクの数値計算原理を紹介されているウェブページがありますが、むしろ誤解を招くだけであると考えます。
Google の秘密 - PageRank 徹底解説の数値計算例で検証しました。
詳細は、ページランクへの誤解ご参照。
８サイト間の例です。ページランクの数値が、確率を示すものであることが、理解いただけるでしょう。
次のようなリンク関係を想定します。（リンク関係図と表は、http://www.ams.org/featurecolumn/archive/pagerank.htmlから借用しています。）
スタート：①からスタートします。
１回目：ウェブサイト①は、②及び③にリンクしています。各0.5を配分
２回目：①のリンク先②は、④のみへリンクしています（0.5を配分）。また、①のリンク先③は、②と⑤へリンクしています（各0.25配分）。
３回目：②は、④のみへリンクしています（0.25配分）、④は、②⑤⑥へリンクしています。
（⑥は、0.25で②⑤は、0.1666をそれぞれ配分）
⑤は、⑥⑦⑧へリンクしています。（⑥のみ0.25、⑦⑧は、0.0833333を配分）
以降は、順次、数値計算します。６１回目で終わりました。なお、最終的に得られた数値をstationary distribution vectorと呼び、訳せば、定常分布ベクトルです。(=steady-state vector) 上記のようなパワー法による数値計算で、主固有ベクトル（＝ページランク）へ収束することは、既に知られています。Handbook of linear algebra（編集者：Kenneth H. Rosen） Adobe Reader 版６８２頁より）
| ウェブサイト | スタート | １回目 | ２回目 | ３回目 | 61回目 | |
| ① | 1 | 0 | 0 | 0 | 0.06 | |
| ② | 0 | 0.5 | 0.25 | 0.1666 | 0.0675 | |
| ③ | 0 | 0.5 | 0 | 0 | 0.03 | |
| ④ | 0 | 0 | 0.5 | 0.25 | 0.0675 | |
| ⑤ | 0 | 0 | 0.25 | 0.1666 | 0.0975 | |
| ⑥ | 0 | 0 | 0 | 0.25 | 0.2025 | |
| ⑦ | 0 | 0 | 0 | 0.0833 | 0.18 | |
| ⑧ | 0 | 0 | 0 | 0.0833 | 0.295 |
これが、ページランクの計算方法の原理です。実際の数値計算では、パラメーター ｄ(ダンピングファクター) が加わります。
何故なら、ダンピングファクター(d<1)がないと、事実上、数値計算（パワー法）ができません。
論文の中で、ページランクの考案者は、「Note that the PageRanks form a probability distribution over web pages, so the sum of all web pages' PageRanks will be one<.」と明言し、計算対象の全てのウェブページのページランクの合計は、1になるとしていますが、これは、上記のような手法で算出されているからです。
①最後の数値（＝ページランク）は、例えば、ある人が、サイト①（例えば、Ｇｏｏｇｌｅ）からスタート（＝検索）し、リンクをたどる場合に、最終的にどのサイトで終わるのかの可能性（確率）を意味することが、理解いただけるのではないでしょうか。（ランダムサーファーモデル参照）
②仮にサイト8に、10のウェブページがあった場合、上記の例では、0.295の数値が、ウェブサイト内の各ページへ再配分される形式で、各ウェブページのページランクが、決定されていると推測されます。計算式は、全く不明。（Ｇｏｏｇｌｅ行列の数値計算対象は、あくまでも、外部とリンク関係にあるウェブページのみです。）
（注）内部リンクの扱いについては、特許文書にて、A modification to avoid drawing unwarranted attention to pages with artificially inflated relevance is to ignore local links between documents and only consider links between separate domains. と明記され、数値計算上無視されます。
意訳：意図的に増加させた内部リンク（＝関連）によって、ウェブページへ不当な関心を引き寄せることを防ぐ修正（方法）は、ウェブサイト内の内部リンクを無視し、別々のドメイン間のリンクのみを（ページランク計算対象として）考慮することである。
③上記の例では、理解しやすいように、1と0のみからなるベクトルから計算を初めていますが、初期ベクトルは、任意に選べますので、実際には、特許文書によれば、全てを1/Nにして、計算しているようです。
（注）
グーグルページランクの生の算出数値（浮動小数点数）は、当然、近似値にすぎません。容易に近似値を求めうるパワー法の長所ですが、同時に有効な近似値は、どのレベルかという問題が生じます。規模が、大きくなれば、ある方が主張するように「いつまでたっても計算が終わらない」というのは、当然であり、問題の核心は、どのレベルが有効な（意義を有する）近似値であるのかという点なのです。
論文ＰＤＦ版の図5をみると、10-8レベル程度になった時点で、反復計算を打ち切っています。なお、論文の図5の縦軸は、指数目盛です。（特許では、１００回程度の反復を行うとしています。）
一方、反復回数については、ダンピングファクター ｄ の値が、大きく影響します。
①例えば、ｄ＝0.99の場合、意味のある近似値（10-8レベル）を得るには、約1800回の反復を要するに対し、ｄ＝0.85の場合、１１４回の反復で、有意義な近似値（10-8レベル）を得ることができるそうです。Deeper inside pagerank 6.1Changing α より。理論面から検討しています。
②一方、この論文(ＰＤＦ版、執筆者は、同じスタンフォード大学の別人）では、実用的には、10回でも有効であると結論付けています。また、ページランク考案者も、特許文書その他で、反復をあまり多く行う必要はないと再三強調するとともに、計算対象行列の規模は、近似値を得るための反復回数には、全く影響がない旨を指摘し、グラフを掲げています。
以上をまとめると、google創設者両名が、ｄ＝0.85 （α＝0.15）と設定したことは、有効近似値算出のためには、極めて有効な手法であったというのが、英米の学者の評価のようです。
つまり、計算対象の規模に比べ「収束は早い」と一般には考えられています。（0.85という設定値は、理論上、10-16程度まで計算すれば収束に時間がかかるはずが、意義のある近似値を10-8レベルと仮定すれば、収束は早いという趣旨です。）
なお、α＝0.15（ｄ＝0.85）とするリンク関係の修正がなければ、理論上、単一のページランクベクトルを算出しえません。
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